1、通常称为雅可比式(Jacobian)。它是以n个n元函数ui=ui(x1，x2，……，xn) (i=1,2，……n) (1)的偏导数为元素的行列式常记为事实上,在(1)中函数都连续可微(即偏导数都连续)的前提之下，J就是函数组(1)的微分形式雅可比行列式的系数矩阵(即雅可比矩阵)的行列式。
3、(3)给出 。这时必须有(4)于是以此为系数行列式的联立线性方程组 (2)中能够把猾诮沓靥(dx1,dx2,…,dxn)解出来，作为(du1,du2,…,dun)的函数。而根据隐函数存在定理,在(u1,u2,…,un)对(x1,x2,…,xn)连续可微的前提下,只须条件(4)便足以保证(x1,x2,…,xn)也对(u1,u2,…,un)连续可微,因而(4)必然成立。这样,连续可微函数组(1)便在雅可比行列式不等于零的条件(4)之下,在每一对相应点u=(u1,u2,…,un)与x=(x1,x2,…,xn)的邻近范围内建立起点与点之间的一个一对一的对应关系。在n=2的情形，以Δx1，Δx2为邻边的矩形(ΔR)对应到(u1，u2)平面上的一个曲边四边形(ΔS),其面积ΔS关于Δx1,Δx2的线性主要部分，即面积微分是这常用于重积分的计算中。如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零，它就处处为正或者处处为负(其正负号标志着u-坐标系的旋转定向是否与x-坐标系的一致)。如果雅可比行列式恒等于零,则函数组(u1,u2,…,un)是函数相关的,其中至少有一个函数是其余函数的一个连续可微的函数。
4、柱坐标变换。如图所示。
6、定理如图所示。
