【抽象代数】解不定方程x^2+1=y^3

1、显然，x≠±1。

2、在高斯整数环内部分解不定方程左边，得到两个单项式x+i和x-i，这两个式子的最大公约数记为δ，其取值只能是1或1+i或2。

3、先证明δ不能等于1+i。

4、δ也不可能等于2。

5、于是，δ只能等于1，这说明x+i和x-i互素，因此，x+i必定是某个高斯整数的立方。

6、展开右边，可以得到两个式子。

根据第二个式子，可以得到b=-1，进而a=0，于是x=0，y=1。这是这个不定方程仅有的一组整数解。