1、从集论的角度看，R是一个实数集，那么从几何的角度看呢？单纯来说，实数集R什么也不是，原则上只有当在R上定义了距离s（对于R上的两点x，y，x与y之间有一个距离s，且s=lx-yl）时，R才可被看作实直线，换句话说几何实质上是取决于定义在集合上的距离而非集合本身，距离s就是一楼所说的度量。
3、还能不能在RxR上定义其他的距离呢？当然能，只是我们究竟会得到怎样的几何？这样的几何和“平面”有多大的区别？例如我们可以定义ds^2=(dx^2+dy^2)/y^2，如此一来就得到了所谓的“庞加莱半平面”，它有很多“奇异”的性质，如它的“直线”（就是测地线，使两点之间距离最短的线）可以是欧氏平面上的半圆，此外，对于“庞加莱半平面”，欧氏第五公设不成立（这样一来“庞加莱半平面”究竟是不是几何呢？是否只有“欧氏平面”才能算是几何呢？抽象的个性和共性有时似乎是不那么容易被统一的）。
