【平面几何】Urquhart定理的一个纯几何证明

1、先介绍一个引理：

设△ABC的三个内角是A=2α、B=2β、C=2γ，△ABC的周长记为p，那么

p/BC=2(1-tanβ*tanγ)

2、引理的证明过程如下：

3、回到Urquhart定理：

先标注几个角，如下图所示。

4、因为AE+ED=AB+BD，所以△AED和△ABD的周长相等，且AD是公共边，再结合引理，可以得出如下等价结论。

5、同样的，AC+CD=AF+FD等价条件如下。

6、两个等式右边部分是等价的，所以左边也是等价的。Urquhart定理成立。